Il mondo dell’informatica è da sempre ricco di formule matematiche che in genere non vengono troppo considerate: si pensa, infatti, che conti solo la pratica. Ma gli informatici non sono certamente solo degli operatori che si occupano di computer, e le loro competenze devono essere solide e consolidate, anche per risolvere i problemi della quotidianità. Abbiamo raccolto in questo articolo cinque teoremi e formule fondamentali in informatica che è importante conoscere, ed abbiamo provato a spiegarli nel dettaglio.
Teorema di Shannon
Il teorema di Shannon stabilisce i limiti fondamentali della capacità di trasmissione di informazioni su un canale di comunicazione. In altre parole, definisce la massima quantità di dati che possono essere trasmessi in modo affidabile attraverso un canale, dato un determinato livello di rumore.
La formula è la seguente:
Dove:
- è la capacità del canale (in bit per secondo),
- è la larghezza di banda del canale (in Hertz),
- è la potenza del segnale,
- è la potenza del rumore.
Dettaglio: Il teorema implica che, aumentando la larghezza di banda o migliorando il rapporto segnale/rumore, si può aumentare la velocità di trasmissione. Tuttavia, se il rumore è troppo alto, il canale diventa inutilizzabile, indipendentemente dalla larghezza di banda.
Teorema di Gödel (Incompletezza)
Il teorema di Gödel di incompletezza è uno dei più importanti risultati nella logica matematica e nelle fondamenta della matematica. Esso afferma che in qualsiasi sistema formale coerente abbastanza potente da descrivere l’aritmetica dei numeri naturali, esistono affermazioni che non possono essere né provate né smentite all’interno del sistema stesso.
La forma più semplice del teorema è:
- Primo Teorema di Gödel: In un sistema formale consistente, esistono proposizioni che sono vere ma che non possono essere provate nel sistema stesso.
- Secondo Teorema di Gödel: Un sistema consistente non può dimostrare la propria coerenza.
Dettaglio: Questa scoperta ha implicazioni enormi nell’informatica, in quanto suggerisce che non possiamo costruire un programma che risolva tutte le domande su un sistema complesso, come un linguaggio di programmazione. Questo è legato al problema dell’indecidibilità, che rende alcuni problemi informatici impossibili da risolvere con un algoritmo.
Teorema di Turing (Decidibilità)
Il teorema di Turing riguarda la decidibilità di un problema. Un problema è considerato decidibile se esiste un algoritmo che può determinare la risposta a una domanda in un numero finito di passi.
Teorema di Turing: Alcuni problemi non sono decidibili, cioè non esiste un algoritmo che possa risolverli per tutti i casi.
La famosa Macchina di Turing è un modello teorico che formalizza l’idea di computazione. Il problema di fermazione di una macchina di Turing (determinare se una macchina di Turing finirà o entrerà in loop su un dato input) è un esempio di problema indecidibile.
Dettaglio: Il problema della fermata, o Halting Problem, è un esempio chiave di indecidibilità. Alan Turing ha dimostrato che non esiste un algoritmo universale in grado di determinare se un programma arbitrario si fermerà su un dato input.
P vs NP
Il problema P vs NP è uno dei problemi aperti più importanti in informatica teorica. Esso riguarda la relazione tra i problemi che possono essere risolti in tempo polinomiale e quelli per cui una soluzione può essere verificata in tempo polinomiale.
La domanda fondamentale è: P = NP?
- P: classe di problemi che possono essere risolti in tempo polinomiale (cioè l’algoritmo ha una complessità temporale che cresce in modo polinomiale con la dimensione dell’input).
- NP: classe di problemi per cui una soluzione può essere verificata in tempo polinomiale.
Dettaglio: Se P = NP, ciò significherebbe che ogni problema per cui possiamo verificare rapidamente una soluzione (NP) può anche essere risolto rapidamente (P). Tuttavia, se P ≠ NP, allora esistono problemi per i quali trovare una soluzione è intrinsecamente più difficile che verificarla.
Teorema di Huffman (Codifica di Huffman)
Il Teorema di Huffman riguarda la compressione dei dati. La codifica di Huffman è un algoritmo di compressione senza perdita di dati che costruisce un albero binario di codifica in base alla frequenza di occorrenza dei simboli. Ogni simbolo viene rappresentato da un codice binario di lunghezza variabile, con i simboli più frequenti rappresentati da codici più brevi.
La formula generale è:
- Frequenza: I simboli più frequenti ottengono codici più corti.
Dettaglio: L’algoritmo di Huffman costruisce un albero binario in cui i simboli con frequenze elevate sono più vicini alla radice, risultando in codici più brevi. La compressione di Huffman è usata, ad esempio, nei file ZIP e JPEG, dove la dimensione del file può essere ridotta senza perdere informazioni.
👇 Contenuti da non perdere 👇
- Gratis 🎉
- Informatica 🖥
- Lavoro 🔧
- Scrivere 🖋
- WordPress 🤵
- 💬 Il nostro canale Telegram: iscriviti
- 🟡 Udemy: cos’è e come funziona
- 🟡 Udemy: cos’è e come funziona
- 🔴 Udemy: cos’è e come funziona
