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Cosa cambia tra permutazioni e combinazioni, spiegato a un newbie

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Permutazioni e combinazioni sono il tuo incubo nella matematica? Proviamo a fare un po’ di chiarezza, se possibile.

Per avere un filo logico facile da seguire, ragioneremo su insiemi numerici interi, il discorso vale anche per le lettere e per qualsiasi altro simbolo alfabetico che si possa assimilare ad un numero. Le definizioni formali di combinazioni & permutazioni, di per sé, non aiutano troppo a capire, e la versione scritta su Wikipedia per le combinazioni è, ad esempio, abbastanza pesante da decifrare.

Aiutiamoci con l’insieme E = {1, 2, 3}, e capiamo da subito che le permutazioni di E sono in tutto 6, date dalle possibili sequenze distinte di elementi in ogni ordine possibile:

(1, 2, 3)
(1, 3, 2)
(2, 1, 3)
(2, 3, 1)
(3, 1, 2)
(3, 2, 1)

Mentre la combinazione è solo una, di fatto, perchè tiene non conto dell’ordine ma solo dell’apparizione del singolo elemento dell’alfabeto o numero:

(1, 2, 3)

In linea di principio, alle combinazioni e permutazioni di E è associata una lunghezza o cardinalità (numero di elementi), che non può essere maggiore (per ovvie ragioni) al numero di elementi distinti nell’alfabeto.

Quante permutazioni posso fare con n elementi?

Il numero di permutazioni possibili con n elementi può essere calcolato utilizzando il concetto di fattoriale. Il fattoriale di un numero n, indicato come n!, rappresenta il prodotto di tutti i numeri interi positivi da 1 a n.

Quindi, il numero di permutazioni possibili con n elementi è dato da n!, ovvero il prodotto di tutti i numeri interi “prima” di n. Ad esempio, se hai 3 elementi, il numero di permutazioni possibili è 3! = 3 x 2 x 1 = 6. Le 6 permutazioni possibili saranno, come abbiamo visto:

{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}.

È importante notare che il numero di permutazioni cresce rapidamente all’aumentare di n. Ad esempio, per n = 10, il numero di permutazioni è 10! = 3,628,800, mentre per n = 20, il numero di permutazioni è 20! = 2,432,902,008,176,640,000.

Quante combinazioni posso fare con n elementi?

Il numero di combinazioni possibili per n elementi presi k alla volta (k<=n) può essere calcolato utilizzando il coefficiente binomiale, noto anche come “n choose k”, indicato come C(n, k). La formula per il coefficiente binomiale è:

C(n, k) = n! / (k! * (n – k)!)

dove n! rappresenta il fattoriale di n, k! rappresenta il fattoriale di k e (n – k)! rappresenta il fattoriale della differenza tra n e k.

Questo coefficiente binomiale calcola il numero di combinazioni possibili senza ripetizione di k elementi selezionati da un insieme di n elementi.

Ad esempio, se hai 5 elementi totali (n = 5) e devi selezionarne 3 (k = 3), il numero di combinazioni possibili sarà:

C(5, 3) = 5! / (3! * (5 – 3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / ((3 x 2 x 1) x (2 x 1)) = 10

Quindi, ci sono 10 combinazioni possibili per selezionare 3 elementi da un insieme di 5 elementi.

Cosa cambia tra combinazioni e permutazioni?

Questo ci aiuta a tenere a mente che le combinazioni si riferiscono alla selezione di un sottoinsieme di elementi da un insieme più grande, senza tener conto dell’ordine in cui gli elementi sono selezionati, mentre le permutazioni si riferiscono a tutte le possibili disposizioni ordinate degli elementi di un insieme. Ecco l’essenza delle permutazioni: l’abilità di dare forma e significato attraverso l’arrangiamento ordinato degli elementi. Ogni permutazione rivela una nuova prospettiva, un nuovo modo di interpretare l’insieme di partenza.

Immagini generate via StarryAI

Calcolo delle combinazioni e delle permutazioni con Python

Molto semplice calcolare combinazioni e permutazioni, in questo caso. Basta usare la libreria itertools!

from itertools import permutations, combinations

perm = permutations([1, 2, 3], 3) # secondo parametro k = 3

for i in list(perm):
  print (i)

print ("combinazioni")
perm = combinations([1, 2, 3], 3) # secondo param k= 1,2, ... in questo caso k=3

for i in list(perm):
  print (i)

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