Calcolo combinatorio per imbranati (vademecum praticone)


Quanti modi esistono per mettere in ordine 10 libri diversi sul ripiano di una libreria? Se siete confusi da domande del genere, abbiamo preparato un rapido vademecum per tutti voi.

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Quanti indirizzi IPv4 posso ottenere usando tutte le possibili combinazioni da 1 a 255 di 4 numeri

L’enumerazione sarà una cosa del genere in questo caso:

  1. 0.0.0.0
  2. 0.0.0.1
  3. 0.0.0.2
  4. 0.0.0.3
  5. 0.0.0.4
  6. 0.0.0.5
  7. 0.0.0.6
  8. 0.0.0.7
  9. 0.0.0.8
  10. 0.0.0.9

ma quanti sono in tutto? Usiamo la formula delle disposizioni con ripetizione, ovvero:

nk

dove n conviene calcolarlo in bit: siccome un IPv4 è composto da 4 ottetti, dove ogni ottetto saranno 8 bit, 8 * 4 = 32 bit è il totale di bit a disposizione, per cui n = 2 (i simboli 0 e 1, nello specifico) mentre k = 32.

232 = 4.294.967.296

per cui saranno disponibili oltre 4 miliardi di configurazioni diverse da 0.0.0.0 fino a 255.255.255.255.

Quanti anagrammi posso formare con la parola PENA (anche parole senza senso)?

Ovviamente ogni anagramma è composto da n= 4 lettere in cui possono essere presenti delle ripetizioni, ovvero le due A sono distinti, per cui avremmo (enumerando i primi che ci vengono in mente):

AENP

ANEP

APEN

e così via. Ma quanti saranno gli anagrammi? Basta calcolare le permutazioni di n elementi, visto che le lettere sono distinte, ovvero il fattoriale di n:

n! = 1 * 2 * 3 * … * n

il che vuol dire tutti i numeri interi da 1 a n moltiplicati una e una sola volta, ovvero le permutazioni senza ripetizioni di n oggetti, 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 anagrammi. Se la parola presentasse lettere ripetute converrebbe ovviamente considerarle ancora una volta come distinte.

Quante coppie di possono formare tra 10 persone?

Immaginiamo di essere ad una serata di speed dating, in cui ci siano 10 persone single ed esistano 5 tavoli a disposizione. Le coppie ruotano ogni tot minuti, come è classico in questi casi, e una di queste è un informatico: quest’ultimo si chiede, quante coppie si potranno formare in tutto? Invece di pensare a trovare una persona che gli/le piace, pensa a queste cose, ma guarda un po’!

Se desideriamo formare coppie (senza considerare il genere delle persone coinvolte), per determinare il numero di possibili coppie tra 10 persone, possiamo utilizzare la formula delle combinazioni con 10 elementi presi 2 alla volta, senza ripetizioni ovviamente:

C(10, 2) = 10! / (2! * (10 – 2)!) = 45

Quindi esitono 45 possibili coppie che si possono formare tra le 10 persone senza considerare il genere.

Ecco i primi 15 esempi di coppie possibili, dove le persone sono A, B, C, …:

  1. (A, B)
  2. (A, C)
  3. (A, D)
  4. (A, E)
  5. (A, F)
  6. (A, G)
  7. (A, H)
  8. (A, I)
  9. (A, J)
  10. (B, C)
  11. (B, D)
  12. (B, E)
  13. (B, F)
  14. (B, G)
  15. (B, H)

Si possono continuare a elencare le coppie in modo simile, combinando gli altri elementi rimanenti.

(Immagine di copertina generata da StarryAI)

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