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Calcolo delle probabilità: teoria ed esercizi

Ciao, oggi vedremo un po’ di esempi pratici di calcolo delle probabilità. Ci auguriamo che possano esserti utili a capire meglio questo argomento.


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Calcolo delle probabilità


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La probabilità è una misura che indica la possibilità di verificarsi di un evento. Essa rappresenta un modo per quantificare la nostra incertezza riguardo all’occorrenza di un determinato evento.

Esempio di probabilità molto semplice

Un esempio semplice di probabilità potrebbe riguardare il lancio di una moneta. Supponiamo di avere una moneta equilibrata, quindi con due facce uguali, testa (T) e croce (C). La probabilità di ottenere testa o croce è del 50% per ciascuna faccia.

Se ci chiediamo quale sia la probabilità di ottenere testa, possiamo esprimere la probabilità come un numero compreso tra 0 e 1, dove 0 rappresenta l’evento impossibile e 1 rappresenta l’evento certo. Nel nostro caso, la probabilità di ottenere testa è 0,5 o 50%. Ciò significa che, in media, ci aspettiamo di ottenere testa in circa la metà dei lanci di una moneta equilibrata.

Osservazioni

È importante notare che la probabilità non ci dà una previsione precisa su un singolo evento, ma piuttosto ci indica le tendenze o le aspettative su un grande numero di eventi simili. Ad esempio, su un solo lancio di una moneta, potremmo ottenere testa o croce, indipendentemente dalla probabilità teorica del 50%. Tuttavia, su un gran numero di lanci, ci aspettiamo che l’occorrenza di testa si avvicini al 50% in modo più accurato.

La probabilità è uno strumento essenziale nel campo della statistica e viene utilizzata in molti contesti, come il gioco d’azzardo, la scienza, l’economia e molte altre discipline, per valutare il grado di incertezza e prendere decisioni informate basate su dati probabilistici.

Probabilità incondizionata

La probabilità incondizionata, indicata come P(A), rappresenta la probabilità di verificarsi di un evento A indipendentemente da altre condizioni o eventi. È la probabilità “grezza” o “assoluta” di un evento, senza considerare alcuna condizione specifica.

La probabilità incondizionata di un evento A può essere calcolata come il rapporto tra il numero di esiti favorevoli all’evento A e il numero totale di possibili esiti.

Ad esempio, supponiamo di avere una scatola di 20 biglie, di cui 5 sono rosse e 15 sono blu. Se vogliamo calcolare la probabilità incondizionata di estrarre una biglia rossa, possiamo utilizzare la seguente formula:

P(A) = Numero di esiti favorevoli a A / Numero totale di possibili esiti

P(A) = 5 (numero di biglie rosse) / 20 (numero totale di biglie)

P(A) = 1/4

Quindi, la probabilità incondizionata di estrarre una biglia rossa è 1/4, ovvero il 25%. Questo significa che in media, se estraessimo casualmente una biglia dalla scatola molte volte, ci aspetteremmo che circa il 25% delle estrazioni produca una biglia rossa.

La probabilità incondizionata è fondamentale nella teoria delle probabilità e viene utilizzata per valutare la verosimiglianza di eventi indipendentemente da altre variabili o condizioni.

Probabilità condizionata

La probabilità condizionata è una misura che rappresenta la probabilità che un evento si verifichi, dato che un altro evento si sia già verificato. In altre parole, ci interessa calcolare la probabilità di un evento A, sapendo che un evento B è già avvenuto.

La probabilità condizionata si indica come P(A|B), dove “P” rappresenta la probabilità e la barra verticale “|” indica la condizione. La formula per calcolare la probabilità condizionata è:

P(A|B) = P(A e B) / P(B)

Dove P(A e B) rappresenta la probabilità che si verifichino sia l’evento A sia l’evento B, e P(B) rappresenta la probabilità di B.

Esercizio svolto di probabilità condizionata

Un esempio comune per comprendere la probabilità condizionata è il lancio di due dadi. Supponiamo di voler calcolare la probabilità di ottenere un 6 sul primo dado, sapendo che la somma dei due dadi è 8.

In questo caso, l’evento A sarebbe “ottenere un 6 sul primo dado” e l’evento B sarebbe “la somma dei due dadi è 8”. Dobbiamo calcolare P(A|B), ovvero la probabilità di ottenere un 6 sul primo dado, dato che la somma dei due dadi è 8.

Per calcolare la probabilità condizionata, dobbiamo conoscere la probabilità di entrambi gli eventi. Supponiamo che la probabilità di ottenere un 6 sul primo dado sia 1/6 (poiché il dado ha sei facce) e che la probabilità di ottenere una somma di 8 sia 5/36 (poiché ci sono cinque modi in cui si può ottenere una somma di 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), su un totale di 36 possibili combinazioni).

Applicando la formula:

P(A|B) = P(A e B) / P(B)

P(A|B) = (1/36) / (5/36)

P(A|B) = 1/5

Quindi, la probabilità di ottenere un 6 sul primo dado, sapendo che la somma dei due dadi è 8, è 1/5. Ciò significa che su una serie di lanci in cui otteniamo una somma di 8, in media, otterremo un 6 sul primo dado in un quinto dei casi.

Distribuzione di probabilità

La distribuzione di probabilità è una funzione che assegna probabilità a ogni possibile valore di una variabile casuale. Essa descrive la probabilità di occorrenza di ciascun possibile risultato di un esperimento o di un evento.

Esistono diverse tipologie di distribuzioni di probabilità, ognuna delle quali è adatta a descrivere specifici scenari o caratteristiche di un fenomeno. Alcune delle distribuzioni di probabilità più comuni sono:

  1. Distribuzione uniforme: ogni possibile risultato ha la stessa probabilità di occorrenza. Ad esempio, nel lancio di un dado equilibrato, ogni faccia ha una probabilità del 1/6 di uscire.
  2. Distribuzione binomiale: descrive il numero di successi in una serie di prove indipendenti, ognuna con due possibili esiti (successo o fallimento), con una probabilità di successo costante. Ad esempio, il numero di teste ottenute in una serie di lanci di una moneta equilibrata segue una distribuzione binomiale.
  3. Distribuzione normale (o distribuzione di Gauss): è una distribuzione continua che ha una forma a campana simmetrica. È ampiamente utilizzata nella statistica e descrive molti fenomeni naturali. Ad esempio, altezza, peso e punteggi dei test standardizzati tendono ad avere una distribuzione normale.
  4. Distribuzione di Poisson: viene utilizzata per modellare il numero di eventi rari che si verificano in un intervallo di tempo o in uno spazio specifico. Ad esempio, il numero di telefonate ricevute da un call center in un minuto segue spesso una distribuzione di Poisson.
  5. Distribuzione esponenziale: descrive l’intervallo di tempo tra gli eventi in un processo di Poisson. Ad esempio, il tempo di attesa tra le telefonate ricevute da un call center segue spesso una distribuzione esponenziale.

Questi sono solo alcuni esempi di distribuzioni di probabilità. Ogni distribuzione ha le sue caratteristiche e proprietà che la rendono adatta a modellare diversi tipi di fenomeni. La scelta della distribuzione di probabilità corretta dipende dal contesto e dall’obiettivo dell’analisi statistica.

Esempio di distribuzione di probabilità

Un esempio semplice di distribuzione di probabilità è la distribuzione di probabilità uniforme. Questa distribuzione assegna la stessa probabilità a ogni possibile risultato di un esperimento.

Immagina di avere un dado equilibrato a sei facce. Ogni faccia del dado ha la stessa probabilità del 1/6 di uscire. In questo caso, la distribuzione di probabilità uniforme assegna un’uguale probabilità a ciascun risultato (i numeri da 1 a 6).

La distribuzione di probabilità uniforme può essere rappresentata tramite un grafico a barre, dove ogni possibile risultato ha la stessa altezza delle barre, indicando la probabilità di occorrenza di quel risultato.

La distribuzione di probabilità uniforme è un esempio di distribuzione semplice e uniforme, in cui ogni risultato ha la stessa probabilità. Tuttavia, nella realtà, molte distribuzioni di probabilità sono più complesse e possono seguire modelli diversi, influenzati da variabili e fattori specifici al fenomeno studiato.

Esercizi svolti sulla probabilità condizionata e incondizionata

Ecco cinque esercizi per praticare il calcolo di probabilità condizionata e incondizionata:

Esercizio 1:
Supponiamo che in una scatola ci siano 8 biglie rosse e 12 biglie blu. Se scegliamo una biglia a caso, qual è la probabilità che sia rossa?

Esercizio 2:
Supponiamo che in una classe di 30 studenti, 15 siano maschi e 15 siano femmine. Se scegliamo uno studente a caso, qual è la probabilità che sia maschio?

Esercizio 3:
Supponiamo che un mazzo di carte da gioco standard contenga 52 carte, di cui 4 sono assi. Se estraiamo una carta a caso, qual è la probabilità che sia un asso?

Esercizio 4:
Supponiamo che in un sondaggio su 100 persone, 70 abbiano votato per il candidato A e 30 abbiano votato per il candidato B. Se scegliamo una persona a caso tra i votanti, qual è la probabilità che abbia votato per il candidato B?

Esercizio 5:
Supponiamo che in una classe ci siano 25 studenti, di cui 10 abbiano gli occhi azzurri. Se scegliamo uno studente a caso, qual è la probabilità che abbia gli occhi azzurri?

Per ogni esercizio, puoi calcolare la probabilità incondizionata utilizzando la formula P(A) = Numero di esiti favorevoli a A / Numero totale di possibili esiti. Per i casi di probabilità condizionata, utilizza la formula P(A|B) = P(A e B) / P(B), dove B rappresenta l’evento condizionante.

Soluzioni esercizi

Esercizio 1:
Sono presenti 8 biglie rosse e 12 biglie blu nella scatola. La probabilità di estrarre una biglia rossa è data da:
P(Rossa) = Numero di biglie rosse / Numero totale di biglie
P(Rossa) = 8 / 20
P(Rossa) = 0.4 o 40%

Esercizio 2:
Nella classe ci sono 15 studenti maschi su un totale di 30 studenti. La probabilità di estrarre uno studente maschio è:
P(Maschio) = Numero di studenti maschi / Numero totale di studenti
P(Maschio) = 15 / 30
P(Maschio) = 0.5 o 50%

Esercizio 3:
Nel mazzo di carte da gioco standard, ci sono 4 assi su un totale di 52 carte. La probabilità di estrarre un asso è:
P(Asso) = Numero di assi / Numero totale di carte
P(Asso) = 4 / 52
P(Asso) = 1/13 o circa 0.0769

Esercizio 4:
Nel sondaggio su 100 persone, 30 hanno votato per il candidato B. La probabilità di scegliere una persona che ha votato per il candidato B è:
P(B) = Numero di persone che hanno votato per il candidato B / Numero totale di persone nel sondaggio
P(B) = 30 / 100
P(B) = 0.3 o 30%

Esercizio 5:
Nella classe di 25 studenti, 10 hanno gli occhi azzurri. La probabilità di estrarre uno studente con gli occhi azzurri è:
P(Azzurri) = Numero di studenti con gli occhi azzurri / Numero totale di studenti
P(Azzurri) = 10 / 25
P(Azzurri) = 0.4 o 40%

Probabilità composta e teorema di Bayes

Consideriamo un esempio semplice per illustrare il concetto di probabilità composta o teorema di Bayes.

Supponiamo di avere una scatola contenente tre palline: una rossa, una verde e una blu. La probabilità di estrarre ciascuna pallina è la stessa (1/3) e non riponiamo la pallina estratta all’interno della scatola. Ora, immaginiamo che le palline siano rimesse nella scatola in modo casuale, ma prima che possiamo estrarne una seconda, viene effettuato un controllo e ci viene detto che la pallina successiva sarà rossa. Qual è la probabilità che la pallina precedentemente estratta sia stata verde?

Per risolvere questo problema, possiamo utilizzare il teorema di Bayes. Il teorema di Bayes ci permette di calcolare la probabilità di un evento dato un altro evento correlato.

Nel nostro caso, dobbiamo calcolare la probabilità che la pallina precedente sia verde (evento A) dato che la prossima pallina sarà rossa (evento B). Usiamo la seguente notazione:

P(A) = probabilità che la pallina precedente sia verde
P(B) = probabilità che la prossima pallina sia rossa

P(A|B) = probabilità che la pallina precedente sia verde dato che la prossima pallina è rossa (quello che vogliamo calcolare)

Applichiamo il teorema di Bayes:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

Dove:
P(B|A) = probabilità che la prossima pallina sia rossa dato che la pallina precedente è verde = 1/2 (poiché se la pallina precedente è verde, rimangono solo due palline e una di esse è rossa)
P(A) = probabilità che la pallina precedente sia verde = 1/3
P(B) = probabilità che la prossima pallina sia rossa = 1/3 (poiché abbiamo tre palline in totale e una è rossa)

Sostituendo questi valori nella formula di Bayes:

P(A|B) = (1/2 * 1/3) / (1/3) = 1/2

Quindi, la probabilità che la pallina precedente sia verde dato che la prossima pallina è rossa è 1/2.

In questo esempio, abbiamo applicato il teorema di Bayes per calcolare la probabilità condizionata. Il teorema di Bayes è utile per stimare le probabilità in base alle informazioni disponibili e può essere applicato in una vasta gamma di scenari in cui sono coinvolte probabilità condizionate.

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