Che cos'è la congettura di Collatz?

Question

Accepted Answer

La congettura di Collatz è un famoso problema aperto della matematica, che a prima vista può sembrare semplice ma che si è dimostrato estremamente complesso. In parole povere, il problema chiede se, data una qualunque sequenza di numeri interi positivi, si può sempre arrivare al numero 1 seguendo un preciso algoritmo. La congettura di Collatz rappresenta un affascinante problema aperto della matematica che continua a intrigare i matematici di tutto il mondo. Nonostante non sia stato ancora dimostrato o confutato, la ricerca sulla congettura ha portato a importanti sviluppi nella teoria dei numeri e potrebbe portare a nuove scoperte in futuro.

Algoritmo per la congettura di Collatz

L'algoritmo è il seguente: partendo da un numero intero positivo n, se n è pari si divide per 2, altrimenti si moltiplica per 3 e si aggiunge 1. Si ripete questo processo finché non si arriva al numero 1. In Python:

def collatz(n):
    while n != 1:
        print(n)
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
    print(n)

collatz(6)

In questo esempio, il codice parte dal numero 6 e applica l'algoritmo della congettura di Collatz finché non si arriva al numero 1. Il risultato stampato dal codice è la seguente sequenza: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Problema della terminazione

Ad oggi non è noto se questo algoritmo funzioni sempre per ogni numero intero positivo, ovvero non sappiamo se esista almeno un numero che non faccia finire l'algoritmo che girerà per sempre. Se esistesse, si invaliderebbe tutta la congettura ma ad oggi non è stato dimostrato, quindi funziona come nel metodo scientifico "fino a prova contraria". In altre parole, non si sa se qualsiasi sequenza di numeri ottenuta seguendo questo algoritmo arrivi sempre al numero 1, anche se sembrerebbe che per la maggioranza dei numeri fino a 5,48 x 10¹⁸ sia esattamente così. La congettura è stata formulata dal matematico tedesco Lothar Collatz nel 1937, e da allora ha attirato l'attenzione di numerosi matematici che hanno tentato di dimostrare o confutare la congettura. Nonostante siano stati fatti progressi significativi, il problema resta aperto. Perché è importante sapere della dimostrazione questa congettura? Innanzitutto, la congettura di Collatz rappresenta un interessante sfida per i matematici, che cercano di comprendere le proprietà dei numeri interi e le loro connessioni. Inoltre, la risoluzione della congettura potrebbe portare a nuove scoperte e sviluppi nella teoria dei numeri. Per mostrare come funziona la congettura di Collatz in pratica, possiamo scrivere un semplice codice Python che mostra la sequenza di numeri che converge sempre e comunque sul numero 1.

Esempi di sequenze di Collatz

n = 25

n = 666

n = 1979

Congettura di Collatz in Python: come funziona

Algoritmo per la congettura di Collatz

Problema della terminazione

Esempi di sequenze di Collatz

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