La congettura di Collatz è un famoso problema aperto della matematica, che a prima vista può sembrare semplice ma che si è dimostrato estremamente complesso. In parole povere, il problema chiede se, data una qualunque sequenza di numeri interi positivi, si può sempre arrivare al numero 1 seguendo un preciso algoritmo. La congettura di Collatz rappresenta un affascinante problema aperto della matematica che continua a intrigare i matematici di tutto il mondo. Nonostante non sia stato ancora dimostrato o confutato, la ricerca sulla congettura ha portato a importanti sviluppi nella teoria dei numeri e potrebbe portare a nuove scoperte in futuro.
Algoritmo per la congettura di Collatz
L’algoritmo è il seguente: partendo da un numero intero positivo n, se n è pari si divide per 2, altrimenti si moltiplica per 3 e si aggiunge 1. Si ripete questo processo finché non si arriva al numero 1. In Python:
def collatz(n):
while n != 1:
print(n)
if n % 2 == 0:
n = n // 2
else:
n = 3 * n + 1
print(n)
collatz(6)
In questo esempio, il codice parte dal numero 6 e applica l’algoritmo della congettura di Collatz finché non si arriva al numero 1. Il risultato stampato dal codice è la seguente sequenza: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Problema della terminazione
Ad oggi non è noto se questo algoritmo funzioni sempre per ogni numero intero positivo, ovvero non sappiamo se esista almeno un numero che non faccia finire l’algoritmo che girerà per sempre. Se esistesse, si invaliderebbe tutta la congettura ma ad oggi non è stato dimostrato, quindi funziona come nel metodo scientifico “fino a prova contraria”. In altre parole, non si sa se qualsiasi sequenza di numeri ottenuta seguendo questo algoritmo arrivi sempre al numero 1, anche se sembrerebbe che per la maggioranza dei numeri fino a 5,48 x 1018 sia esattamente così. La congettura è stata formulata dal matematico tedesco Lothar Collatz nel 1937, e da allora ha attirato l’attenzione di numerosi matematici che hanno tentato di dimostrare o confutare la congettura. Nonostante siano stati fatti progressi significativi, il problema resta aperto.
Perché è importante sapere della dimostrazione questa congettura? Innanzitutto, la congettura di Collatz rappresenta un interessante sfida per i matematici, che cercano di comprendere le proprietà dei numeri interi e le loro connessioni. Inoltre, la risoluzione della congettura potrebbe portare a nuove scoperte e sviluppi nella teoria dei numeri. Per mostrare come funziona la congettura di Collatz in pratica, possiamo scrivere un semplice codice Python che mostra la sequenza di numeri che converge sempre e comunque sul numero 1.
Esempi di sequenze di Collatz
n = 25
25 76 38 19 58 29 88 44 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
n = 666
666 333 1000 500 250 125 376 188 94 47 142 71 214 107 322 161 484 242 121 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1
n = 1979
1979 5938 2969 8908 4454 2227 6682 3341 10024 5012 2506 1253 3760 1880 940 470 235 706 353 1060 530 265 796 398 199 598 299 898 449 1348 674 337 1012 506 253 760 380 190 95 286 143 430 215 646 323 970 485 1456 728 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1
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