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Come generare e rilevare numeri primi in Python

La ricerca e la generazione di numeri primi è un problema fondamentale per molte applicazioni informatiche, in particolare per la crittografia. La difficoltà matematica di trovare numeri primi molto grandi costituisce una sfida importante per gli informatici e i crittografi, che devono cercare di trovare soluzioni efficienti per garantire la sicurezza dei loro sistemi.

Il problema della generazione e ricerca di numeri primi in informatica possiede diverse implicazioni pratiche e teoriche, tra cui proviamo ad elencarne alcune:

  1. Trovare numeri primi molto grandi è un compito computazionalmente molto difficile, in quanto non esiste un algoritmo efficiente per la loro ricerca. Questo è un problema fondamentale per la crittografia, poiché i numeri primi sono un ingrediente chiave per la sicurezza di molti algoritmi crittografici. Fin quando non sarà possibile generare numeri primi in maniera efficente, non sarà agevole violare le crittografie in gioco sui vari sistemi di autenticazione, bancari e via dicendo.
  2. La generazione di numeri primi è importante per la sicurezza dei sistemi crittografici. Ad esempio, gli algoritmi di crittografia asimmetrica come RSA si basano sull’uso di numeri primi molto grandi per garantire la sicurezza dei messaggi trasmessi. Se un informatico malintenzionato riuscisse a trovare i fattori primi di un numero molto grande, potrebbe facilmente decodificare i messaggi crittografati.
  3. Applicazioni pratiche: oltre alla crittografia, i numeri primi sono importanti per diverse applicazioni informatiche, come la generazione di sequenze pseudocasuali e la compressione dei dati.
  4. Crittanalisi: la ricerca di numeri primi molto grandi può essere utilizzata anche per la crittanalisi, ovvero per rompere i sistemi crittografici basati sui numeri primi. Alcuni algoritmi di fattorizzazione dei numeri sono in grado di trovare i fattori di numeri molto grandi, come ad esempio l’algoritmo di fattorizzazione attribuito a Lenstra.

Come verificare se un numero è primo in Python

L’algoritmo di base è molto semplice e si richiama con:

primo(n)

dove in sostanza quello che facciamo è verificare se n è uguale a 2, se è così il numero è primo; diversamente, in modo ricorsivo, andiamo a verificare se n sia divisibile per 3, 4, 5, … ed in questo caso restituiamo False (il numero non è sicuramente primo).

 def primo(n, i=2):
    if n == i:
        return True
    elif n % i == 0:
        return False
    return primo(n, i + 1)

Generatore di numeri primi in Python

Eccovi un esempio leggermente più complesso di codice Python commentato che genera tutti i numeri primi fino a N:

def trova_numeri_primi(N):
"""
Questa funzione prende in input un intero N e 
restituisce una lista contenente tutti i numeri primi
compresi tra 2 e N (incluso).
"""
numeri_primi = [] # Inizializza la lista dei numeri primi
for numero in range(2, N+1): # Cicla su tutti i numeri da 2 a N
primo = True # Assumiamo che il numero corrente sia primo
for div in range(2, int(numero**0.5)+1): # Cerca divisori tra 2 e la radice quadrata del numero
if numero % div == 0: # Se il numero è divisibile per un div si interrompe il ciclo
primo = False
break
if primo: # Se il numero è primo lo aggiungiamo alla lista dei numeri primi
numeri_primi.append(numero)
return numeri_primi

Il codice utilizza una doppia iterazione per scandire tutti i numeri da 2 a N, e per ciascuno di questi numeri controlla se è divisibile per qualche numero tra 2 e la sua radice quadrata. Se non lo è, allora il numero viene considerato primo e viene aggiunto alla lista dei numeri primi.

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