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Storia, teoria e pratica della stocastica

Il termine “stocastico” ha origine nel campo della matematica e della statistica ed è utilizzato per descrivere processi, eventi o fenomeni che sono caratterizzati da una certa dose di casualità o incertezza. Questo termine deriva dalla parola greca “stochastikos” che significa “congettura”, “indovinare” ed è stato utilizzato per la prima volta nella teoria delle probabilità.

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Ainali, CC BY-SA 3.0 <https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0>, via Wikimedia Commons

pensI processi stocastici vengono utilizzati per modellare e analizzare una vasta gamma di fenomeni reali in cui la casualità e l’incertezza giocano un ruolo significativo. Questi possono includere il movimento delle particelle in una soluzione, il flusso del traffico su una rete, i prezzi delle azioni in mercati finanziari e molte altre applicazioni. Per fare un esempio pratico, poniamo di voler misurare le prestazioni di un server web in situazioni differenti (sotto carico di lavoro, in condizioni ordinarie, durante un attacco informatico): l’analisi delle prestazioni di un sistema informatico, come un server web o una rete di computer può essere modellata in termini stocastici.

La teoria stocastica può essere utilizzata per rappresentare in modo efficace il comportamento casuale delle richieste degli utenti e le prestazioni del sistema in risposta a tali richieste. La teoria stocastica aiuta gli ingegneri e i professionisti informatici a progettare, ottimizzare e gestire sistemi informatici complessi in modo efficiente, tenendo conto della variabilità e dell’incertezza nel comportamento del sistema e delle richieste degli utenti.

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Storia

La storia del concetto stocastico è legata allo sviluppo della teoria delle probabilità, che ha radici nel XVII secolo con matematici come Blaise Pascal e Pierre de Fermat. Tuttavia, è con il lavoro di matematici come Jacob Bernoulli, Abraham de Moivre e Pierre-Simon Laplace che la teoria delle probabilità ha iniziato a svilupparsi in modo più sistematico.

La transizione dalla probabilità al processo stocastico coinvolge l‘estensione del concetto di probabilità per descrivere il comportamento di variabili casuali nel tempo o nello spazio.

La probabilità inizia con il concetto di variabili casuali. Una variabile casuale è una quantità il cui valore è soggetto a incertezza o casualità, ad esempio compresa tra 0 e 1 (numeri decimali). Le variabili casuali sono associate, a loro volta, a distribuzioni di probabilità. Ad esempio, nella distribuzione di probabilità di un lancio di moneta equa, ci sono probabilità del 50% sia per testa che per croce. Quando estendiamo questi concetti a situazioni in cui le variabili casuali evolvono nel tempo o nello spazio, otteniamo i processi stocastici. Un processo stocastico è una collezione di variabili casuali, una per ciascun istante di tempo o punto nello spazio, in cui il comportamento futuro è descritto da distribuzioni di probabilità. I processi stocastici possono essere, a seconda dei casi e delle necessità, discreti (basati su numeri interi) o continui (basati su numeri reali). Nei processi stocastici esite un concetto di evoluzione nel tempo o nello spazio delle variabili casuali in accordo con leggi probabilistiche: tale evoluzione può essere regolata da equazioni differenziali, ad esempio.

Il termine “stocastico” è stato introdotto più tardi, nel XIX secolo, quando il matematico russo Andrey Markov ha iniziato a studiare sequenze di eventi casuali, noti come processi stocastici, e ha utilizzato questo termine per descriverli. Successivamente, il concetto si è diffuso in una vasta gamma di discipline scientifiche, tra cui la statistica, la fisica, la biologia e l’economia, per descrivere eventi o fenomeni che non possono essere previsti con certezza a causa della loro natura casuale.

Da un punto di vista formale, un processo stocastico (o processo casuale) è un oggetto matematico definito come successione di variabili probabilistiche casuali, per cui l’indice posizionale di ogni variabile è tipicamente il tempo trascorso. Uno dei processi stocastici più semplici è stato definito da Jakob Bernoulli: una sequenza di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite, in cui ciascuna variabile casuale assume il valore uno o zero, 1 con probabilità p e 0 con probabilità 1 – p. Questo processo può essere collegato al lancio ripetuto di una moneta, dove la probabilità di ottenere testa è p p e il suo valore è uno, mentre il valore di croce è zero.

Casi più complessi di processi stocastici possono includere movimenti tridimensionali di particelle, evoluzione di sistemi dinamici e algoritmi di analisi probabilistica.

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Nella figura, un adatomo evolve secondo un cammino casuale (random walk) rappresentabile mediante processo stocastico. In questo contesto si parla anche di moto browniano.

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