Spiegazioni facili: teorema di Bayes per imbranati


Steve è timido e introverso, ama leggere e, quando può, si rifugia nel proprio mondo. Ci sono più probabilità che sia un contadino oppure un bibliotecario?

Gran parte delle persone a cui sottoponessimo questa ipotetica domanda finirebbero per rispondere che è molto più probabile che Steve sia un bibliotecario: tendenzialmente però questa risposta cozza con le evidenze statistiche, che suggeriscono che – in media – ci sono più contadini che bibliotecari nella popolazione umana, per cui la probabilità più alta è in realtà invertita rispetto all’intuizione. Il fenomeno è un Bas ben noto che è stato scoperto da Daniel Kanheman durante gli studi di una vita, che gli sono valsi anche un nobel per l’economia, e sono stati popolarizzati dal suo libro Pensieri lenti, pensieri veloci. L’autore si spinge a considerare questa distorsione di giudizio (bias) una vera e propria irrazionalità del pensiero, per quanto la descrizione sia volutamente stereotipata e suggerisca un profilo in cui tendiamo a focalizzarci sulla descrizione per quello che è senza valutare il contesto generale.

Possiamo partire da un esempietto semplificato per comprendere l’importanza del teorema di Bayes: in una scuola sappiamo esserci il 60% di maschi ed il 40% di femmine, e sappiamo pure che le studentesse indossano sia gonne che pantaloni, mentre i maschi indossano solo pantaloni. Vediamo da lontano uno studente coi pantaloni: sarà più probabilmente maschio o femmina? Se vediamo uno studente con i pantaloni ciò ci porterebbe a ritenere che potrebbe essere sia maschio che femmina, poiché entrambi possono indossare pantaloni; tuttavia, considerando che il 60% degli studenti è maschio e i maschi indossano esclusivamente pantaloni, c’è una maggiore probabilità che lo studente visto da lontano con i pantaloni sia un maschio, dato che fa parte di un gruppo più numeroso. Per lo stesso motivo sarà più probabile che Steve sia un contadino nonostante la descrizione fuorviante, ammesso che sia ragionevole pensare ad un mondo con più contadini che bibliotecari (cosa che appare più che razionale, a ben vedere).

Come osservato dalla matematica Hannah Fry nel libro Hello Word, del resto, il fatto che un campione sia più popoloso lo rende anche più soggetto a eventuali errori di decisione: l’errore, infatti, si propaga sul campione più numeroso per un semplice fatto di probabilità, mentre quello meno popoloso paradossalmente rimane meno soggetto ad errori di attribuzione o classificazione.

Domanda: vedo che lo studente porta i pantaloni, per cui: è più probabile che sia maschio o femmina?

L’applicazione del teorema di Bayes avviene in questo modo:

  • P(A) è la probabilità a priori che lo studente sia femmina (40% ovvero 2/5)
  • P(B) è la probabilità a priori che lo studente porti i pantaloni (80% ovvero 4/5)
  • P(B|A) è la probabilità che – dato il fatto che lo studente sia femmina (A), porti i pantaloni (B), e in questo caso è del 50% (50%)
  • P(A|B) è la probabilità che – dato il fatto che porti i pantaloni (B), lo studente sia effettivamente femmina (A). Calcolando con la formula di Bayes, otteniamo che la probabilità in questione è:

mentre il suo complementare è del 3/4 (75%), più alta, che sia maschio.

In definitiva: il teorema di Bayes è un modo per aggiornare le nostre credenze su qualcosa quando otteniamo nuova informazione. Lo facciamo prendendo in considerazione sia la probabilità iniziale delle nostre credenze (chiamata “probabilità a priori”) sia l’evidenza nuova che abbiamo ottenuto.

Immagina di avere due cose che stai cercando di capire, chiamiamole A e B. Il teorema di Bayes ci aiuta a capire quanto sia probabile che A sia vero dato che B è vero, basandoci sulla probabilità che B sia vero dato che A è vero. In parole più semplici, immagina di avere una teoria su qualcosa (A), e poi trovi un nuovo fatto (B). Il teorema di Bayes ti aiuta a capire quanto il nuovo fatto (B) sostiene o contrasta la tua teoria originale (A).

Quindi, quando usiamo il teorema di Bayes, stiamo facendo questo:

  1. Guardiamo alla probabilità iniziale della nostra teoria (probabilità a priori).
  2. Consideriamo quanto è probabile che avremmo visto il nuovo fatto se la nostra teoria fosse vera (probabilità di osservare il nuovo fatto dato che la teoria è vera).
  3. Consideriamo anche quanto è probabile che avremmo visto il nuovo fatto se la nostra teoria non fosse vera (probabilità di osservare il nuovo fatto dato che la teoria non è vera).
  4. Usiamo queste informazioni per aggiornare la nostra comprensione e ottenere una nuova probabilità sulla base del nuovo fatto (probabilità a posteriori).

In breve, il teorema di Bayes ci aiuta a pesare la nostra vecchia conoscenza contro la nuova evidenza, permettendoci di ottenere una migliore comprensione della situazione.

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