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Determinante, rango, inversa, trasposta di una matrice (GUIDA)

Confuso dalle matrici? Un calcolatore matriciale (Matrix Calculator) è uno strumento o un software che consente di eseguire operazioni e calcoli su matrici. Le matrici sono strutture dati bidimensionali costituite da righe e colonne di elementi. Questi calcolatori possono eseguire una varietà di operazioni matematiche sulle matrici, come l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, il calcolo del determinante, l’inversione e altro ancora.

Ci sono diversi calcolatori matriciali disponibili online come strumenti interattivi o software scaricabili. Alcuni di essi sono progettati per operazioni di base, mentre altri possono gestire operazioni più complesse o avanzate come la decomposizione LU, la diagonalizzazione, la riduzione a forma normale, ecc. Uno dei più famosi sul web è senza dubbio Matrix Calculator, che adesso vedremo brevemente. Prima di usarne uno, pero’, è necessario capire bene di che cosa parliamo.

Vediamo pertanto cosa sono il determinante, il rango, l’inversa e la trasposta di una matrice con esempi su matrici 2×2 e 3×3.

Determinante

Un determinante è un valore numerico associato a una matrice quadrata. È un concetto fondamentale nella teoria delle matrici e ha diverse applicazioni in matematica, fisica, ingegneria e altre discipline. Il determinante fornisce informazioni sulla “dimensione” della trasformazione rappresentata dalla matrice e sulla sua invertibilità.

Per calcolare il determinante di una matrice 3×3, puoi utilizzare la seguente formula:

det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Dove la matrice 3×3 è definita come:

a b c
d e f
g h i

Dove gli elementi a, b, c, d, e, f, g, h, i sono i valori generici presenti nella matrice.

Ecco un esempio con una matrice 3×3, A =

2 1 3
0 4 -1
2 0 1

Applicando la formula del determinante, otteniamo:

det(A) = 2(4*1 - (-1)*0) - 1(0*1 - (-1)*2) + 3(0*0 - 4*2)
= 2(4) - 1(2) + 3(-8)
= 8 - 2 - 24
= -18

Quindi, il determinante della matrice A è -18.

Determinante di una matrice 2×2: Il determinante di una matrice 2×2 è calcolato utilizzando la seguente formula:

det(A) = (a * d) - (b * c)

Dove la matrice 2×2 è definita come:

A = | a b |
| c d |

E gli elementi a, b, c, d sono i valori presenti nella matrice.

Esempio:

A = | 3 2 |
| 1 4 |

Il determinante di A è:

det(A) = (3 * 4) - (2 * 1) = 12 - 2 = 10

Rango

Rango di una matrice 2×2: Il rango di una matrice rappresenta il numero massimo di colonne linearmente indipendenti nella matrice. Per una matrice 2×2, il rango può essere al massimo 2 o 1 a seconda che le sue colonne siano indipendenti o dipendenti.

Esempio:

B = | 2 3 |
| 4 6 |

In questo caso, possiamo vedere che la seconda colonna è semplicemente il doppio della prima colonna moltiplicata per 2. Quindi, le colonne sono linearmente dipendenti e il rango di B è 1.

Inversa

Matrice inversa di una matrice 2×2: La matrice inversa di una matrice 2×2 può essere calcolata come:

A^(-1) = (1 / det(A)) * | d -b |
| -c a |

Dove det(A) è il determinante di A e a, b, c, d sono gli elementi della matrice.

Esempio:

C = | 5 2 |
| 1 3 |

Calcoliamo il determinante di C: det(C) = (5 * 3) - (2 * 1) = 15 - 2 = 13 Quindi, la matrice inversa di C è:

C^(-1) = (1 / 13) * | 3 -2 |
| -1 5 |

Trasposta

Trasposta di una matrice 2×2: La trasposta di una matrice 2×2 è ottenuta scambiando le righe con le colonne.

Esempio:

D = | 7 8 |
         | 9 10 |

La trasposta di D è:

D^T = | 7 9 |
              | 8 10 |

Questi concetti e calcoli possono essere applicati anche a matrici di altre dimensioni, ma gli esempi forniti sono specifici per matrici 2×2.

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