L’idea che un numero possa essere perfetto potrà sembrare strana ai non addetti ai lavori, ma è esattamente così. In vari tipi di imprese artistiche e atletiche, la perfezione è rigorosamente negli occhi di chi guarda. Per i numeri, invece, la perfezione è definita in modo più rigoroso e matematica. I “numeri perfetti” sono uguali alla somma dei loro divisori “propri” (numeri interi positivi che dividono un numero in modo uniforme, senza contare se stessi). Per esempio:
6 è pari alla somma degli interi positivi 3 + 2 + 1
oppure
28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1.
Dietro questa matematica apparentemente semplice vi è un mondo complesso, estremamente interessante e da non sottovalutare per i suoi possibili risvolti. Per inciso, i numeri che non rispettano questa condizione sono detti rispettivamente:
- numero abbondante (abundant number) se è minore della somma dei suoi divisori propri. Per esempio, 36 è abbondante, poiché 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 = 55 > 36.
- numero difettivo (deficient number, evidentemente da non tradurre come “numero deficiente”) se la somma dei suoi divisori propri è minore del numero stesso. Ad esempio, 35 è difettivo perché 1 + 5 + 7 = 13 < 35.
Più di 2.000 anni fa, Euclide ha presentato le fondamenta dei numeri perfetti, e aveva identificato i primi quattro numeri perfetti come 6, 28, 496 e 8.128. Successivamente, molti altri numeri perfetti sono stati scoperti, ma sorprendentemente tutti sono pari. Nonostante migliaia di anni di ricerca, nessuno è riuscito a trovare un numero perfetto dispari, e potremmo essere tentati di concludere che tali numeri non esistono. Tuttavia, i matematici non hanno ancora dimostrato questa ipotesi. È interessante notare come sia possibile conoscere così tanto sui numeri perfetti pari senza poter rispondere alla più semplice domanda sui numeri perfetti dispari. Gli attuali matematici stanno lavorando per risolvere questa antica questione.
Cosa sono i numeri perfetti, in modo rigoroso
I numeri perfetti sono un tipo speciale di numeri interi positivi. Un numero perfetto è un numero intero positivo che è uguale alla somma dei suoi fattori propri (esclusi 1 e il numero stesso). In altre parole, se prendi tutti i divisori propri di un numero perfetto (escluso il numero stesso), e li sommi insieme, ottieni il numero perfetto. Ad esempio, il primo numero perfetto è 6, perché i suoi divisori propri (esclusi 1 e 6) sono 2 e 3, e 2 + 3 = 6.
Ecco alcuni esempi di numeri perfetti:
6 (i suoi divisori propri sono 1, 2 e 3, e 1 + 2 + 3 = 6)
28 (i suoi divisori propri sono 1, 2, 4, 7 e 14, e 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28)
496 (i suoi divisori propri sono 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 e 248, e 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496)
8128 (i suoi divisori propri sono 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032 e 4064, e 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128)
Solo questi quattro? Sì, perchè gli altri sono molto più rari e difficili da trovare: solo 51 numeri perfetti sono stati scoperti fino ad oggi, e i più grandi di essi hanno decine di migliaia di cifre.
Codice Python per trovare i numeri perfetti in modo iterativo
import random
import math
N = 33550336
for n in range( 1, N ):
somma = 0
divisori = []
for i in range(1, n):
if(n % i == 0):
somma = somma + i
divisori.append(i)
if (somma == n):
print(n," è un numero perfetto")
print(divisori, " sono i suoi divisori")
print()
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