Il mondo delle probabilità spesso ci sorprende con situazioni controintuitive e affascinanti. Uno di questi enigmi è il famoso “Paradosso del Compleanno”, che sfida la nostra intuizione – come quello di Simpson e dei gemelli – riguardo alla probabilità delle coincidenze nelle date di nascita. In questo articolo, esamineremo il paradosso in dettaglio, esploreremo il suo fondamento matematico e cercheremo di comprendere perché può sembrare così sorprendente.
Ricordiamo che il oaradosso del Compleanno può essere enunciato in modo semplice: quante persone ci devono essere in una stanza affinché ci sia almeno il 50% di probabilità che almeno due di loro compiano gli stessi anni di nascita? Mentre l’intuizione potrebbe suggerire che ci vogliano moltissime persone per raggiungere questa probabilità, la risposta è che ne bastano solo 23. Uno dei primi a sollevare il problema e farne discutere nella comunità, per inciso, è stato il matematico Richard von Mises negli anni Trenta.
Dimostrazione del paradosso del compleanno
Per comprendere il motivo per cui ciò accade, dobbiamo analizzare la probabilità delle corrispondenze delle date di nascita. Supponiamo di avere solo due persone nella stanza. La probabilità che abbiano date di nascita diverse è chiaramente molto alta, e si esprime come:
P(D2) = 364/365
poiché c’è solo un giorno dell’anno in cui le loro date non corrispondono. Motivo per cui la probabilità che abbiano le stesse date di nascita è
P(U2) = 1 – 364/365 = 0.002739
che è circa lo 0.27%.
Quando aggiungiamo una terza persona nella stanza, le probabilità cambiano: dobbiamo considerare tutte le possibili coppie di confronti possibili, quindi ad esempio per le tre persone A, B e C consideriamo AB, AC, BC. Poiché abbiamo già calcolato la probabilità di una coppia che condivide la stessa data di nascita (P(2)), possiamo considerare la probabilità che tutte e tre abbiano date di nascita diverse:
P(D3) = (364/365) * (363/365)
Pertanto in questo caso la probabilità che almeno una coppia condivida la stessa data di nascita su tre persone è:
P(U3) = 1 – P(tutte date diverse) = 1 – ((364/365) * (363/365)) ≈ 0.0082
ovvero circa lo 0.82%. Aggiungendo una quarta persona, la probabilità che tutte e quattro abbiano date di nascita diverse è:
P(D4) = (364/365) * (363/365) * (362/365)
mentre la probabilità che almeno una coppia condivida la stessa data di nascita su 4 persone è:
P(U4) = 1 – P(D4) = 1 – ((364/365) * (363/365) * (362/365)) ≈ 0.0164 = 1.64%
La probabilità cresce in modo inaspettato già dal calcolo che stiamo facendo, anche se l’intuito suggerisce una crescita molto più lenta: in definitiva la probabilità arriva ad almeno il 50% nel caso in cui le persone siano appena 23, che il valore di soglia che stavamo cercando, prima calcolano le probabilità che tutte le date siano diverse:
P(D23) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * … * (343)/365) * (342)/365) ≈ 0.492703
Calcolando la probabilità complementare:
P(U23) ≈ 0.507297
che è la probabilità che almeno una coppia condivida la stessa data di nascita.
Il cuore del paradosso risiede nel concetto di combinazioni: l’aumento del numero di persone nella stanza porta a un aumento esponenziale delle possibili coppie di date di nascita da confrontare. Questo aumenta la probabilità che almeno una di queste coppie abbia date di nascita uguali. Con solo 23 persone, il numero di coppie possibili supera 250, che è sufficiente per far sì che la probabilità di almeno una corrispondenza superi il 50%.
Come si usa il paradosso nella pratica
Il Paradosso del Compleanno ha implicazioni pratiche inaspettate e fondamentali: ad esempio, è utilizzato nella crittografia per illustrare come le collisioni possano verificarsi in sistemi crittografici basati su hash. Gli hash – lo ricordiamo brevemente – sono funzioni matematiche che trasformano dati in stringhe di lunghezza fissa, e sono ampiamente utilizzati per garantire l’integrità dei dati e per creare firme digitali.
L’aspetto cruciale del paradosso del compleanno in relazione alla crittografia riguarda le collisioni degli hash. Una collisione si verifica quando due insiemi diversi di dati producono lo stesso hash. In altre parole, due input diversi generano lo stesso risultato hash. Le collisioni sono indesiderabili perché minano l’integrità dei dati e possono essere sfruttate dagli attaccanti per violare la sicurezza del sistema.
Implicazioni pratiche del paradosso
- Analisi della Sicurezza: Il Paradosso del Compleanno mette in luce quanto possa essere difficile garantire che non si verifichino collisioni in un sistema crittografico. Poiché la probabilità di collisioni aumenta rapidamente all’aumentare del numero di dati processati, le collisioni possono verificarsi più frequentemente di quanto ci si aspetterebbe intuitivamente.
- Attacchi per Forza Bruta: Gli attaccanti possono sfruttare il Paradosso del Compleanno per accelerare gli attacchi per forza bruta. Invece di cercare una corrispondenza specifica, un attaccante può cercare coppie di dati che producono lo stesso hash, consentendo loro di compromettere il sistema più facilmente.
- Vulnerabilità nei Sistemi Basati su Hash: I sistemi che non tengono conto delle collisioni possono essere vulnerabili agli attacchi. Se un algoritmo di hash non è sufficientemente resistente alle collisioni, gli attaccanti potrebbero trovare due insiemi di dati diversi che generano lo stesso hash, compromettendo la sicurezza del sistema.
- Scelta degli Algoritmi di Hash: Il Paradosso del Compleanno influisce sulla scelta degli algoritmi di hash. Gli algoritmi più resistenti alle collisioni e più sicuri sono preferiti per garantire che l’attaccante abbia difficoltà nell’individuare due input che producono lo stesso hash.
- Lunghezza degli Hash: A causa del Paradosso del Compleanno, la lunghezza degli hash è determinante. Hash più lunghi riducono la probabilità di collisioni, ma richiedono anche più risorse computazionali. Gli hash troppo corti possono essere soggetti a attacchi basati sulla ricerca di collisioni.
In definitiva, il Paradosso del Compleanno ci mostra come la matematica delle probabilità possa svelare fenomeni sorprendenti e inaspettati. La sua base matematica, centrata sul conteggio delle combinazioni, sfida la nostra intuizione e ci invita a esplorare ulteriormente le dinamiche delle probabilità nelle situazioni quotidiane.
Immagine di copertina: il paradosso del compleanno re-immaginato da Midjourney
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