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Trasformata discreta di Fourier (DFT) spiegata senza matematica

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Immagina di usare un computer per editare un file audio, o anche solo di ascoltare musica col tuo smartphone e di regolare l’equalizzazione senza saperlo, stai sfruttando la DFT, uno degli algoritmi più complessi (e più utili) che siano mai stati inventati.

La trasformata discreta di Fourier (DFT) è, senza dubbio, uno degli algoritmi più importanti nell’informatica di oggi: svolge un ruolo chiave in ogni forma di comunicazione, così come nell’elaborazione di audio e immagini, nel machine learning e così via. Purtroppo è anche un argomento sul quale il web non è molto indicativo, in quanto la voce Wikipedia è molto tecnica (e non troppo chiara), mentre le spiegazioni che si trovano in giro non sembrano conoscere vie di mezzo tra spiegazioni a livello universitario e semplificazioni poco accettabili.

Proveremo nel nostro piccolo a sopperire in questa guida, anche a costo di risparmiarvi qualche dettaglio non essenziale per comprendere l’argomento in modo divulgativo.

È molto comune perdere ogni punto di riferimento analizzando la parte matematica della DFT, che è complessa e richiede molte conoscenze a livello teorico, in quanto si colloca nel contesto della trasformata di Fourier e ne caratterizza il suo caso particolare all’ambito discreto. Il punto chiave della DFT, tanto per cominciare, è che prende una forma d’onda (ad esempio un suono) nel dominio del tempo, ovvero la sua rappresentazione come onda, e la trasforma nel dominio della frequenza, assai meno intuitivo di quanto suggerisca l’andamento dell’onda con picchi di intensità rappresentati sull’asse delle ordinate.

Grazie al dominio della frequenza, di fatto, siamo in grado di effettuare operazioni che sarebbero impossibili su quello del tempo, come ad esempio separare i vari strumenti di una band, distinguere le diverse voci di un discorso e così via. Una ulteriore applicazione della trasformata di Fourier è, come accennavamo, l’autotune usato da alcuni musicisti, che permette di correggere gli errori e le stonature in automatico.

Immagine tratta da https://lcamtuf.substack.com/p/not-so-fast-mr-fourier
Dominio del tempo (in alto) e della frequenza (in basso). Immagine tratta da https://lcamtuf.substack.com/p/not-so-fast-mr-fourier

In altri termini, se immagini di analizzare un file musicale di un minuto di durata: dal punto di vista dell’algoritmo in questione questa musica è una sequenza di numeri che rappresentano l’ampiezza del suono in ogni istante: tali numeri sono discreti per definizione perché sono stati misurati solo in determinati momenti, visto che la registrazione digitale è un processo di campionamento del dato e l’onda sonora analogica è diventata digitale (discretizzazione). La DFT prende questa sequenza di numeri e la scompone in una somma di onde sinusoidali di diverse frequenze, basilarmente. Ogni frequenza presa singolarmente, a questo punto, rappresenterà una diversa componente del suono (se hai un file MP3 composto da vari strumenti, insomma, la DFT ti permette di vedere quali frequenze compongono ogni suono, e con uno sforzo di astrazione potrai isolare quasi perfettamente i singoli strumenti, volendo). È un po’ come se stessimo guardando l’energia in diverse bande di frequenza. Alcune frequenze potrebbero essere forti, mentre altre potrebbero essere deboli. Questo ci fornisce una visione dettagliata di quali suoni sono presenti nel nostro segnale.

La trasformata discreta di Fourier prende una sequenza di N valori in input e li distribuisce su un grafico radiale, in cui l’angolo del vettore è la fase e la distanza dal centro è l’intensità di frequenza. La DFT è altresì utilizzata in molte tecniche di compressione audio, come MP3. Quando si comprime un file audio, si cerca di rimuovere dati non essenziali mantenendo al tempo stesso la qualità del suono. La DFT aiuta a identificare le frequenze meno udibili o meno significative nel segnale audio, consentendo di eliminare o comprimere quelle parti senza perdere qualità. L’equalizzazione del suono, come ulteriore caso pratico, avviene sullo stesso principio.

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