Nella teoria dei database, l’algebra relazionale è una teoria che utilizza strutture algebriche per modellare i dati e definire query su di essi con una semantica ben fondata. L’applicazione principale dell’algebra relazionale è fornire una base teorica per i database relazionali, in particolare per i linguaggi di query di tali database, tra cui SQL è il più importante. I database relazionali memorizzano dati tabulari rappresentati come relazioni. Le query su database relazionali spesso restituiscono dati tabulari anch’essi rappresentati come relazioni.
Come nasce la disciplina
L’algebra delle relazioni ha radici nelle opere di matematici come Augustus De Morgan, George Boole, Charles Peirce e Richard Dedekind, che hanno contribuito allo sviluppo delle basi dell’insiemistica e della logica. Tuttavia, il termine “algebra delle relazioni” è stato coniato più tardi, nel 1940, da Alfred Tarski e la teoria è stata ulteriormente sviluppata da altri matematici, come Garrett Birkhoff e Saunders Mac Lane. L’obiettivo principale di questa teoria è di trattare le relazioni binarie tra insiemi come oggetti algebrici.
La formalizzazione dell’algebra si deve a Codd.
A che serve l’algebra relazionale
Lo scopo principale dell’algebra relazionale è definire operatori che trasformano una o più relazioni in ingresso in una relazione in uscita. Dato che questi operatori accettano relazioni in ingresso e producono relazioni in uscita, possono essere combinati e utilizzati per esprimere query potenzialmente complesse che trasformano potenzialmente molte relazioni in ingresso (i cui dati sono memorizzati nel database) in una singola relazione in uscita (i risultati della query).
Gli operatori unari accettano in ingresso una singola relazione; esempi includono operatori per filtrare determinati attributi (colonne) o tuple (righe) da una relazione in ingresso.
Gli operatori binari accettano in ingresso due relazioni; tali operatori combinano le due relazioni in ingresso in una singola relazione in uscita, ad esempio, prendendo tutte le tuple trovate in una delle due relazioni, rimuovendo tuple dalla prima relazione che si trovano nella seconda relazione, estendendo le tuple della prima relazione con tuple della seconda relazione che soddisfano determinate condizioni, e così via.
Altri operatori più avanzati possono essere inclusi, e l’inclusione o l’esclusione di determinati operatori dà origine a una famiglia di algebre.
Esempi facili
L’algebra delle relazioni è stata ideata per affrontare problemi relativi all’elaborazione delle informazioni e alle applicazioni pratiche nella teoria dei database, nell’informatica teorica e nella teoria dei linguaggi di programmazione. Essa fornisce un linguaggio formale per descrivere, manipolare e analizzare relazioni tra elementi di insiemi, che è cruciale in molte discipline, compresa l’informatica.
Un esempio semplice di algebra delle relazioni potrebbe coinvolgere due insiemi: A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}. Una relazione R tra questi insiemi potrebbe essere definita come segue:
R = {(1, 4), (2, 3), (3, 5)}
Questa relazione indica che ci sono coppie di elementi, uno da A e uno da B, che sono in relazione tra loro.
L’algebra delle relazioni è strettamente correlata all’insiemistica, ma si concentra sulla manipolazione e l’analisi delle relazioni tra gli elementi di insiemi anziché sugli insiemi stessi. Ad esempio, mentre l’insiemistica tratta insiemi e operazioni come unione, intersezione e differenza tra insiemi, l’algebra delle relazioni tratta relazioni binarie tra insiemi e operazioni come l’unione di relazioni, l’intersezione di relazioni e l’inversione di relazioni. Entrambe le discipline condividono alcune nozioni di base, come la riflessività, la simmetria e la transitività delle relazioni, ma si differenziano nel modo in cui si concentrano sugli aspetti relazionali piuttosto che sugli insiemi stessi.
L’algebra relazionale è una parte fondamentale della teoria dei database ed è utilizzata per manipolare e analizzare dati all’interno di tabelle relazionali. Le operazioni di base dell’algebra relazionale sono essenziali per interrogare e gestire database relazionali. Ecco alcune delle operazioni di base con esempi.
Prodotto cartesiano
Prodotto Cartesiano (×): Il prodotto cartesiano combina ogni riga della prima tabella con ogni riga della seconda tabella, creando una nuova tabella con tutte le possibili combinazioni.
Esempio: Date due tabelle “Studenti” e “Corsi”, il loro prodotto cartesiano creerà una tabella con tutte le possibili combinazioni tra studenti e corsi.
Proiezione (di colonne)
Proiezione (π): L’operazione di proiezione permette di selezionare colonne specifiche da una tabella.
Esempio: Se vogliamo selezionare solo le colonne “Nome” e “Cognome” dalla tabella “Studenti”, possiamo farlo come segue:
π(Nome, Cognome)(Studenti)Selezione (di righe)
Selezione (σ): Questa operazione consente di selezionare righe specifiche che soddisfano un certo predicato.
Esempio: Se abbiamo una tabella “Studenti” con colonne “Nome” e “Voto”, possiamo selezionare gli studenti che hanno ottenuto un voto superiore a 90 nel seguente modo:
σ(Voto > 90)(Studenti)Unione
Unione (∪): L’operazione di unione combina due tabelle con lo stesso schema (stesse colonne).
Esempio: Supponiamo di avere due tabelle “Studenti1” e “Studenti2” con gli stessi attributi. L’unione di queste due tabelle restituirà tutti gli studenti presenti in entrambe le tabelle senza duplicati:
Studenti1 ∪ Studenti2Intersezione
Intersezione (∩): L’operazione di intersezione restituisce le righe comuni tra due tabelle con lo stesso schema.
Esempio: Utilizzando le tabelle “Studenti1” e “Studenti2”, l’intersezione restituirà gli studenti che si trovano sia in “Studenti1” che in “Studenti2”:
Studenti1 ∩ Studenti2Differenza
Differenza (-): L’operazione di differenza restituisce le righe presenti nella prima tabella ma non nella seconda.
Esempio: Se vogliamo trovare gli studenti che sono solo in “Studenti1” e non in “Studenti2”, possiamo fare:
Studenti1 - Studenti2Join
L’operazione di join combina due tabelle basandosi su una condizione specifica.
Esempio: Se vogliamo combinare la tabella “Studenti” con la tabella “Corsi” basandoci sull’attributo “ID Studente”, possiamo eseguire un join come segue:
-
Studenti ⨝ (ID Studente = ID Studente) Corsi
Queste sono alcune delle operazioni di base dell’algebra relazionale che vengono comunemente utilizzate per interrogare database relazionali. Combinando queste operazioni, è possibile creare query complesse per estrarre e manipolare dati in modo efficace.
Esercizio svolto (Studenti, Esami)
Ecco un semplice esercizio di algebra relazionale con la soluzione.
Supponiamo di avere due tabelle.
Tabella “Studenti”
| ID | Nome | Età | Corso |
|---|---|---|---|
| 1 | Marco | 20 | Matematica |
| 2 | Laura | 22 | Informatica |
| 3 | Giovanni | 21 | Fisica |
| 4 | Maria | 19 | Chimica |
Tabella “Esami”
| ID | StudenteID | Voto |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 85 |
| 2 | 2 | 92 |
| 3 | 3 | 78 |
| 4 | 1 | 95 |
| 5 | 2 | 88 |
Ora, supponiamo che tu voglia ottenere un elenco di studenti che hanno ottenuto un voto superiore a 90 nei loro esami.
Ecco come puoi farlo utilizzando l’algebra relazionale:
- Selezione (σ): Seleziona solo le righe dalla tabella “Esami” in cui il voto è superiore a 90.
-
σ(Voto > 90)(Esami)
Questo produrrà il seguente risultato:
ID StudenteID Voto 2 2 92 4 1 95 - Join (⨝): Combiniamo il risultato della selezione con la tabella “Studenti” utilizzando l’attributo “StudenteID” come condizione di join.
-
Studenti ⨝ (Studenti.ID = Esami.StudenteID) σ(Voto > 90)(Esami)
Questo ci darà l’elenco dei nomi degli studenti che hanno ottenuto un voto superiore a 90 nei loro esami:
ID Nome Età Corso StudenteID Voto 1 Marco 20 Matematica 1 95 2 Laura 22 Informatica 2 92
Questo è un esempio semplice di come eseguire un’operazione di algebra relazionale per ottenere un risultato specifico da un database relazionale. Il passo successivo è quello di fare uso del linguaggio SQL, di cui l’algebra che abbiamo visto è la base teorica.
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