Integrali svolti (8 esempi)

La definizione di integrale può essere data in diversi modi a seconda del contesto, ma in generale, l’integrale può essere descritto come un concetto matematico che rappresenta l’area sottesa a una curva o la somma infinitesima di piccoli cambiamenti.

In particolare, ci sono due tipi principali di integrali: l’integrale indefinito e l’integrale definito.

L’integrale indefinito, indicato come ∫f(x) dx, rappresenta una famiglia di funzioni che, derivando, danno come risultato la funzione f(x). È denotato con il simbolo “∫” (chiamato integrale) seguito dalla funzione f(x) da integrare, e “dx” indica che l’integrazione viene eseguita rispetto alla variabile x.

L’integrale definito, indicato come ∫f(x) dx da a a b, rappresenta l’area sottesa alla curva di una funzione f(x) in un intervallo specifico da a a b. In questo caso, i limiti di integrazione a e b indicano i punti iniziale e finale dell’intervallo di integrazione.

L’integrale può essere calcolato utilizzando diverse tecniche, come la regola di integrazione, la sostituzione di variabile, l’integrazione per parti, tra le altre.

L’integrale ha numerose applicazioni in matematica, fisica, ingegneria e molte altre discipline scientifiche. È uno strumento fondamentale per calcolare aree, volumi, calcolare il lavoro, analizzare la probabilità e modellare una vasta gamma di fenomeni.

Integrale di 2x

Supponiamo che vogliamo calcolare l’integrale indefinito di f(x) = 2x. Quindi, dobbiamo trovare una funzione F(x) tale che la sua derivata sia uguale a 2x.

Per fare ciò, applichiamo la regola di integrazione per una funzione lineare:

∫2x dx = x^2 + C

Dove C è la costante di integrazione.

Quindi, l’integrale indefinito di f(x) = 2x è

F(x) = x^2 + C

dove C rappresenta una costante arbitraria.

In questo caso, il calcolo dell’integrale è relativamente semplice poiché la funzione f(x) è una funzione lineare.

Ricorda che l’integrale indefinito rappresenta una famiglia di funzioni che differiscono solo per una costante di integrazione. Quindi, l’aggiunta di una costante C nella soluzione è importante per tener conto di tutte le possibili funzioni che derivano in f(x).

Per calcolare l’integrale più semplice, dovremmo considerare un esempio di integrale elementare. Un esempio semplice potrebbe essere l’integrale definito di una funzione lineare.

Supponiamo che vogliamo calcolare l’integrale definito di f(x) = 3x. L’integrale definito è indicato come ∫f(x) dx, dove f(x) rappresenta la funzione da integrare e dx rappresenta la variabile di integrazione.

Ecco i passaggi per calcolare l’integrale definito più semplice:

1. Applica la regola dell’integrazione per una funzione lineare. L’integrale di una funzione lineare f(x) = ax è dato da (1/2)ax^2 + C, dove a è il coefficiente della variabile x e C rappresenta la costante di integrazione.
2. Applicando la regola all’esempio specifico f(x) = 3x, otteniamo:∫3x dx = (1/2)(3x)^2 + C = (1/2)(9x^2) + C = (9/2)x^2 + C
3. Quindi, l’integrale definito più semplice della funzione f(x) = 3x è (9/2)x^2 + C.

Ricorda che la costante di integrazione C rappresenta una costante arbitraria che viene aggiunta perché l’integrazione può generare una famiglia di funzioni che differiscono solo per una costante.

Questo è solo un esempio di un integrale semplice di una funzione lineare. Le procedure per calcolare integrali possono diventare più complesse quando si affrontano funzioni più complicate.

Integrale di f(x) = (3x^3 – 2x^2 + 5x – 4) / (x – 2) da 1 a 3.

Consideriamo l’integrale definito di

f(x) = (3x^3 – 2x^2 + 5x – 4) / (x – 2) da 1 a 3.

Passo 1: Effettuiamo la divisione sintetica o la divisione polinomiale per dividere il polinomio nel numeratore per il polinomio nel denominatore.

(3x^3 – 2x^2 + 5x – 4) ÷ (x – 2) = 3x^2 + 4x + 13 + (26 / (x – 2))

Quindi, otteniamo il risultato della divisione: 3x^2 + 4x + 13 + (26 / (x – 2)).

Passo 2: Scriviamo l’integrale in una forma semplificata utilizzando il risultato della divisione:

∫(3x^3 – 2x^2 + 5x – 4) / (x – 2) dx = ∫(3x^2 + 4x + 13 + (26 / (x – 2))) dx

Passo 3: Eseguiamo l’integrazione dell’espressione semplificata:

∫(3x^2 + 4x + 13 + (26 / (x – 2))) dx = x^3 + 2x^2 + 13x + 26ln|x – 2| + C

Dove C rappresenta la costante di integrazione.

Passo 4: Applichiamo i limiti di integrazione.

Sostituiremo i limiti di integrazione nella formula dell’integrale definito e calcoleremo la differenza tra i risultati con i limiti inferiori e superiori:

[ (1^3 + 2(1)^2 + 13(1) + 26ln|1 – 2|) ] da 1 a 3

Sostituendo x = 3: [ (3^3 + 2(3)^2 + 13(3) + 26ln|3 – 2|) ]

Sostituendo x = 1:

[ (1^3 + 2(1)^2 + 13(1) + 26ln|1 – 2|) ]

Calcolando la differenza tra i due risultati:

[ (3^3 + 2(3)^2 + 13(3) + 26ln|3 – 2|) ] – [ (1^3 + 2(1)^2 + 13(1) + 26ln|1 – 2|) ]

Integrale di f(x) = (x^2 + 3x + 2) / (x + 1) da 0 a 3.

Consideriamo l’integrale definito di f(x) = (x^2 + 3x + 2) / (x + 1) da 0 a 3.

Per risolvere questo integrale, possiamo utilizzare diversi metodi, tra cui la divisione sintetica o la divisione polinomiale.

Passo 1: Effettuiamo la divisione sintetica o la divisione polinomiale per dividere il polinomio nel numeratore per il polinomio nel denominatore.

(x^2 + 3x + 2) ÷ (x + 1) = x + 2

Quindi, otteniamo il risultato della divisione: x + 2.

Passo 2: Scriviamo l’integrale in una forma semplificata utilizzando il risultato della divisione:

∫(x^2 + 3x + 2) / (x + 1) dx = ∫(x + 2) dx

Passo 3: Eseguiamo l’integrazione dell’espressione semplificata:

∫(x + 2) dx = (1/2)x^2 + 2x + C

Dove C rappresenta la costante di integrazione.

Passo 4: Applichiamo i limiti di integrazione.

Sostituiremo i limiti di integrazione nella formula dell’integrale definito e calcoleremo la differenza tra i risultati con i limiti inferiori e superiori:

[ (1/2)x^2 + 2x ] da 0 a 3

Sostituendo x = 3: [ (1/2)(3)^2 + 2(3) ]

Sostituendo x = 0:

[ (1/2)(0)^2 + 2(0) ]

Calcolando la differenza tra i due risultati: [ (1/2)(3)^2 + 2(3) ] – [ (1/2)(0)^2 + 2(0) ] = 9 + 6 – 0 = 15

Quindi, l’integrale definito di f(x) = (x^2 + 3x + 2) / (x + 1) da 0 a 3 è uguale a 15.

Integrale di funzione esponenziale (f(x) = e^x / (1 + e^x))

Ecco un esempio di un integrale leggermente più complesso:

Consideriamo l’integrale indefinito di

f(x) = e^x / (1 + e^x).

Per risolvere questo integrale, possiamo utilizzare una tecnica chiamata sostituzione. Ecco i passaggi:

1. Scegliamo una variabile ausiliaria, ad esempio u, e la impostiamo uguale al denominatore dell’integranda: u = 1 + e^x.
2. Calcoliamo la derivata di u rispetto a x: du/dx = d(1 + e^x)/dx = e^x.
3. Risolviamo l’equazione per dx: dx = du / e^x.
4. Sostituiamo dx e il valore di u nella nostra espressione originale: ∫(e^x / (1 + e^x)) dx = ∫(1/u) du.
5. L’integrale diventa quindi: ∫(1/u) du = ln|u| + C, dove ln indica il logaritmo naturale e C rappresenta la costante di integrazione.
6. Sostituiamo il valore di u: ln|u| + C = ln|1 + e^x| + C.

Quindi, l’integrale indefinito di f(x) = e^x / (1 + e^x) è ln|1 + e^x| + C, dove C rappresenta la costante di integrazione.

Integrale di f(x) = sin(x) / x