Seguici su Telegram, ne vale la pena ❤️ ➡ @trovalost
Vai al contenuto

Integrali svolti (8 esempi)

Definizione di integrale

La definizione di integrale può essere data in diversi modi a seconda del contesto, ma in generale, l’integrale può essere descritto come un concetto matematico che rappresenta l’area sottesa a una curva o la somma infinitesima di piccoli cambiamenti.

In particolare, ci sono due tipi principali di integrali: l’integrale indefinito e l’integrale definito.

L’integrale indefinito, indicato come ∫f(x) dx, rappresenta una famiglia di funzioni che, derivando, danno come risultato la funzione f(x). È denotato con il simbolo “∫” (chiamato integrale) seguito dalla funzione f(x) da integrare, e “dx” indica che l’integrazione viene eseguita rispetto alla variabile x.

L’integrale definito, indicato come ∫f(x) dx da a a b, rappresenta l’area sottesa alla curva di una funzione f(x) in un intervallo specifico da a a b. In questo caso, i limiti di integrazione a e b indicano i punti iniziale e finale dell’intervallo di integrazione.

L’integrale può essere calcolato utilizzando diverse tecniche, come la regola di integrazione, la sostituzione di variabile, l’integrazione per parti, tra le altre.

L’integrale ha numerose applicazioni in matematica, fisica, ingegneria e molte altre discipline scientifiche. È uno strumento fondamentale per calcolare aree, volumi, calcolare il lavoro, analizzare la probabilità e modellare una vasta gamma di fenomeni.

Integrale di 2x

Supponiamo che vogliamo calcolare l’integrale indefinito di f(x) = 2x. Quindi, dobbiamo trovare una funzione F(x) tale che la sua derivata sia uguale a 2x.

Per fare ciò, applichiamo la regola di integrazione per una funzione lineare:

∫2x dx = x^2 + C

Dove C è la costante di integrazione.

Quindi, l’integrale indefinito di f(x) = 2x è

F(x) = x^2 + C

dove C rappresenta una costante arbitraria.

In questo caso, il calcolo dell’integrale è relativamente semplice poiché la funzione f(x) è una funzione lineare.

Ricorda che l’integrale indefinito rappresenta una famiglia di funzioni che differiscono solo per una costante di integrazione. Quindi, l’aggiunta di una costante C nella soluzione è importante per tener conto di tutte le possibili funzioni che derivano in f(x).

Integrale di 3x

Per calcolare l’integrale più semplice, dovremmo considerare un esempio di integrale elementare. Un esempio semplice potrebbe essere l’integrale definito di una funzione lineare.

Supponiamo che vogliamo calcolare l’integrale definito di f(x) = 3x. L’integrale definito è indicato come ∫f(x) dx, dove f(x) rappresenta la funzione da integrare e dx rappresenta la variabile di integrazione.

Ecco i passaggi per calcolare l’integrale definito più semplice:

  1. Applica la regola dell’integrazione per una funzione lineare. L’integrale di una funzione lineare f(x) = ax è dato da (1/2)ax^2 + C, dove a è il coefficiente della variabile x e C rappresenta la costante di integrazione.
  2. Applicando la regola all’esempio specifico f(x) = 3x, otteniamo:∫3x dx = (1/2)(3x)^2 + C = (1/2)(9x^2) + C = (9/2)x^2 + C
  3. Quindi, l’integrale definito più semplice della funzione f(x) = 3x è (9/2)x^2 + C.

Ricorda che la costante di integrazione C rappresenta una costante arbitraria che viene aggiunta perché l’integrazione può generare una famiglia di funzioni che differiscono solo per una costante.

Questo è solo un esempio di un integrale semplice di una funzione lineare. Le procedure per calcolare integrali possono diventare più complesse quando si affrontano funzioni più complicate.

Integrale di f(x) = (3x^3 – 2x^2 + 5x – 4) / (x – 2) da 1 a 3.

Consideriamo l’integrale definito di

f(x) = (3x^3 – 2x^2 + 5x – 4) / (x – 2) da 1 a 3.

Passo 1: Effettuiamo la divisione sintetica o la divisione polinomiale per dividere il polinomio nel numeratore per il polinomio nel denominatore.

(3x^3 – 2x^2 + 5x – 4) ÷ (x – 2) = 3x^2 + 4x + 13 + (26 / (x – 2))

Quindi, otteniamo il risultato della divisione: 3x^2 + 4x + 13 + (26 / (x – 2)).

Passo 2: Scriviamo l’integrale in una forma semplificata utilizzando il risultato della divisione:

∫(3x^3 – 2x^2 + 5x – 4) / (x – 2) dx = ∫(3x^2 + 4x + 13 + (26 / (x – 2))) dx

Passo 3: Eseguiamo l’integrazione dell’espressione semplificata:

∫(3x^2 + 4x + 13 + (26 / (x – 2))) dx = x^3 + 2x^2 + 13x + 26ln|x – 2| + C

Dove C rappresenta la costante di integrazione.

Passo 4: Applichiamo i limiti di integrazione.

Sostituiremo i limiti di integrazione nella formula dell’integrale definito e calcoleremo la differenza tra i risultati con i limiti inferiori e superiori:

[ (1^3 + 2(1)^2 + 13(1) + 26ln|1 – 2|) ] da 1 a 3

Sostituendo x = 3: [ (3^3 + 2(3)^2 + 13(3) + 26ln|3 – 2|) ]

Sostituendo x = 1:

[ (1^3 + 2(1)^2 + 13(1) + 26ln|1 – 2|) ]

Calcolando la differenza tra i due risultati:

[ (3^3 + 2(3)^2 + 13(3) + 26ln|3 – 2|) ] – [ (1^3 + 2(1)^2 + 13(1) + 26ln|1 – 2|) ]

Integrale di f(x) = (x^2 + 3x + 2) / (x + 1) da 0 a 3.

Consideriamo l’integrale definito di f(x) = (x^2 + 3x + 2) / (x + 1) da 0 a 3.

Per risolvere questo integrale, possiamo utilizzare diversi metodi, tra cui la divisione sintetica o la divisione polinomiale.

Passo 1: Effettuiamo la divisione sintetica o la divisione polinomiale per dividere il polinomio nel numeratore per il polinomio nel denominatore.

(x^2 + 3x + 2) ÷ (x + 1) = x + 2

Quindi, otteniamo il risultato della divisione: x + 2.

Passo 2: Scriviamo l’integrale in una forma semplificata utilizzando il risultato della divisione:

∫(x^2 + 3x + 2) / (x + 1) dx = ∫(x + 2) dx

Passo 3: Eseguiamo l’integrazione dell’espressione semplificata:

∫(x + 2) dx = (1/2)x^2 + 2x + C

Dove C rappresenta la costante di integrazione.

Passo 4: Applichiamo i limiti di integrazione.

Sostituiremo i limiti di integrazione nella formula dell’integrale definito e calcoleremo la differenza tra i risultati con i limiti inferiori e superiori:

[ (1/2)x^2 + 2x ] da 0 a 3

Sostituendo x = 3: [ (1/2)(3)^2 + 2(3) ]

Sostituendo x = 0:

[ (1/2)(0)^2 + 2(0) ]

Calcolando la differenza tra i due risultati: [ (1/2)(3)^2 + 2(3) ] – [ (1/2)(0)^2 + 2(0) ] = 9 + 6 – 0 = 15

Quindi, l’integrale definito di f(x) = (x^2 + 3x + 2) / (x + 1) da 0 a 3 è uguale a 15.

Integrale di funzione esponenziale (f(x) = e^x / (1 + e^x))

Ecco un esempio di un integrale leggermente più complesso:

Consideriamo l’integrale indefinito di

f(x) = e^x / (1 + e^x).

Per risolvere questo integrale, possiamo utilizzare una tecnica chiamata sostituzione. Ecco i passaggi:

  1. Scegliamo una variabile ausiliaria, ad esempio u, e la impostiamo uguale al denominatore dell’integranda: u = 1 + e^x.
  2. Calcoliamo la derivata di u rispetto a x: du/dx = d(1 + e^x)/dx = e^x.
  3. Risolviamo l’equazione per dx: dx = du / e^x.
  4. Sostituiamo dx e il valore di u nella nostra espressione originale: ∫(e^x / (1 + e^x)) dx = ∫(1/u) du.
  5. L’integrale diventa quindi: ∫(1/u) du = ln|u| + C, dove ln indica il logaritmo naturale e C rappresenta la costante di integrazione.
  6. Sostituiamo il valore di u: ln|u| + C = ln|1 + e^x| + C.

Quindi, l’integrale indefinito di f(x) = e^x / (1 + e^x) è ln|1 + e^x| + C, dove C rappresenta la costante di integrazione.

Integrale di f(x) = sin(x) / x

Consideriamo l’integrale indefinito di f(x) = sin(x) / x.

Questo tipo di integrale non può essere risolto utilizzando le regole di integrazione standard. Richiede l’applicazione di una tecnica avanzata chiamata integrazione per parti.

Ecco i passaggi per risolvere questo integrale:

  1. Applichiamo la regola di integrazione per parti, che dice che ∫u v dx = uv – ∫v du, dove u e v sono funzioni di x.
  2. Scegliamo u = 1/x come la prima funzione e dv = sin(x) dx come la seconda funzione.
  3. Calcoliamo du e v: du = -dx/x^2 v = -cos(x)
  4. Applichiamo la formula di integrazione per parti: ∫(sin(x) / x) dx = – (1/x) * cos(x) – ∫(-cos(x) * (-dx/x^2))
  5. Semplifichiamo l’integrale rimanente: ∫(-cos(x) * (-dx/x^2)) = ∫(cos(x) / x^2) dx
  6. Abbiamo ottenuto un nuovo integrale, ma possiamo applicare ancora una volta la regola di integrazione per parti. Scegliamo u = 1/x^2 e dv = cos(x) dx.
  7. Calcoliamo du e v: du = -2x^(-3) dx v = sin(x)
  8. Applichiamo la formula di integrazione per parti: ∫(cos(x) / x^2) dx = (1/x^2) * sin(x) – ∫(-2x^(-3) * sin(x)) dx
  9. Semplifichiamo l’integrale rimanente: ∫(-2x^(-3) * sin(x)) dx = ∫(2sin(x) / x^3) dx
  10. Abbiamo ottenuto un altro integrale simile, ma possiamo applicare ancora una volta la regola di integrazione per parti.
  11. Continuando il processo di integrazione per parti, si arriva al risultato finale dell’integrale indefinito di f(x) = sin(x) / x.
    1. Applichiamo nuovamente la regola di integrazione per parti al terzo integrale: ∫(2sin(x) / x^3) dx = – (2/x^3) * cos(x) – ∫(-6/x^4 * cos(x)) dx
    2. Continuando l’applicazione della regola di integrazione per parti, si arriva a: ∫(-6/x^4 * cos(x)) dx = (6/x^4) * sin(x) – ∫(24/x^5 * sin(x)) dx
    3. Ripetendo ancora una volta la regola di integrazione per parti, si ottiene: ∫(24/x^5 * sin(x)) dx = – (24/x^5) * cos(x) – ∫(-120/x^6 * cos(x)) dx
    4. Questo processo può continuare, ma a questo punto si può notare un pattern che si sta ripetendo. Si osserva che l’integrale ∫(-120/x^6 * cos(x)) dx può essere risolto con la stessa tecnica.
    5. Alla fine, si arriva a un’equazione che contiene una serie infinita di termini che coinvolgono potenze decrescenti di x e funzioni trigonometriche.

    Il risultato finale dell’integrale indefinito di f(x) = sin(x) / x è quindi una serie di termini che coinvolgono le funzioni seno e coseno, combinati con potenze di x:

    ∫(sin(x) / x) dx = sin(x)/x – cos(x)/x^2 + 2cos(x)/x^3 – 6sin(x)/x^4 + …

    È importante notare che questa rappresentazione in forma di serie infinita fornisce una soluzione generale per l’integrale indefinito, ma non può essere espresso in una forma chiusa usando funzioni elementari. Pertanto, questa serie è la rappresentazione finale del risultato dell’integrale indefinito.

Integrale di seno, coseno e tangente

Ecco gli integrali delle funzioni seno, coseno e tangente:

  1. Integrale del seno: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C Dove C rappresenta la costante di integrazione.
  2. Integrale del coseno: ∫cos(x) dx = sin(x) + C Dove C rappresenta la costante di integrazione.
  3. Integrale della tangente: ∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C Dove C rappresenta la costante di integrazione.

Questi sono gli integrali indefiniti delle funzioni seno, coseno e tangente. Ricorda che l’integrale indefinito genera una famiglia di funzioni che differiscono solo per una costante, quindi è necessario includere la costante di integrazione.

È importante notare che queste formule valgono per un intervallo limitato di x. Al di fuori di tale intervallo, possono essere necessarie considerazioni aggiuntive, come l’uso delle funzioni periodiche del seno e del coseno.

👇 Da non perdere 👇



Questo sito web esiste da 4498 giorni (12 anni), e contiene ad oggi 4662 articoli (circa 3.729.600 parole in tutto) e 15 servizi online gratuiti. – Leggi un altro articolo a caso
Non ha ancora votato nessuno.

Ti sembra utile o interessante? Vota e fammelo sapere.

Questo sito contribuisce alla audience di sè stesso.
Il nostro network informativo: Lipercubo - Pagare online (il blog) - Trovalost.it