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Cosa sono le equazioni di secondo grado

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Le equazioni di secondo grado sono equazioni in cui il grado massimo di una variabile è 2. Queste equazioni possono essere scritte nella forma generale: ax^2 + bx + c = 0, dove “a”, “b” e “c” sono coefficienti reali e “x” è la variabile.

Le equazioni di secondo grado possono avere diverse forme e possono essere risolte utilizzando diversi metodi, tra cui:

  1. Fattorizzazione: Se l’equazione può essere fattorizzata, puoi ottenere le radici direttamente identificando i fattori che si annullano. Ad esempio, l’equazione x^2 – 4 = 0 può essere fattorizzata come (x – 2)(x + 2) = 0, quindi le radici sono x = 2 e x = -2.
  2. Completamento del quadrato: Puoi utilizzare il completamento del quadrato per ricondurre l’equazione a una forma quadratica perfetta. Questo metodo coinvolge la manipolazione dell’equazione per ottenere un quadrato perfetto da entrambi i lati dell’uguaglianza. Successivamente, puoi risolvere l’equazione trovando le radici quadrate. Ad esempio, per risolvere l’equazione x^2 + 6x – 8 = 0, puoi completare il quadrato nel seguente modo:x^2 + 6x – 8 = 0 x^2 + 6x + 9 = 9 (aggiungendo 9 da entrambi i lati per completare il quadrato) (x + 3)^2 = 9 (riducendo a un quadrato perfetto) x + 3 = ± √9 (applicando la radice quadrata ad entrambi i lati) x + 3 = ± 3 x = -3 ± 3 Le radici sono x = 0 e x = -6.
  3. Formula quadratica: Puoi utilizzare la formula quadratica, nota anche come formula di Bhaskara, per risolvere le equazioni di secondo grado direttamente. La formula quadratica è espressa come:x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a)

    dove “a”, “b” e “c” sono i coefficienti dell’equazione. Questo metodo è particolarmente utile quando l’equazione non può essere fattorizzata facilmente o non si presta bene al completamento del quadrato.

Le equazioni di secondo grado possono avere zero, una o due radici reali, o possono avere radici complesse (immaginarie) se il discriminante (b^2 – 4ac) è negativo.

È importante notare che, oltre alle radici, le equazioni di secondo grado possono anche avere altre informazioni significative come il vertice della parabola associata all’equazione (che indica il punto di massimo o minimo) e la concavità della curva.

Risolvere un’equazione di secondo grado significa trovare i valori delle variabili che rendono vera l’uguaglianza. È possibile utilizzare diversi metodi a seconda della forma dell’equazione e delle caratteristiche specifiche del problema.

Esempio equazione di secondo grado

Eccoti un semplice esempio di risoluzione di un’equazione di secondo grado:

Esempio: Risolvere l’equazione x^2 – 4x – 5 = 0.

Possiamo risolvere questa equazione utilizzando la formula quadratica:

La formula quadratica è x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / (2a).

Nel nostro caso, i coefficienti dell’equazione sono: a = 1 b = -4 c = -5

Sostituendo i valori nella formula quadratica, otteniamo:

x = (-(-4) ± √((-4)^2 – 4 * 1 * (-5))) / (2 * 1) x = (4 ± √(16 + 20)) / 2 x = (4 ± √36) / 2 x = (4 ± 6) / 2

Ora consideriamo entrambe le possibilità di segno:

Se x = (4 + 6) / 2: x = 10 / 2 x = 5

Se x = (4 – 6) / 2: x = -2 / 2 x = -1

Quindi, le radici dell’equazione sono x = 5 e x = -1.

Verifichiamo inserendo questi valori nell’equazione originale:

Per x = 5: (5)^2 – 4(5) – 5 = 0 25 – 20 – 5 = 0 0 = 0

Per x = -1: (-1)^2 – 4(-1) – 5 = 0 1 + 4 – 5 = 0 0 = 0

Poiché l’uguaglianza è verificata per entrambi i valori di x, le nostre soluzioni sono corrette.

Quindi, le radici dell’equazione x^2 – 4x – 5 = 0 sono x = 5 e x = -1.

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